Число Коксетера
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
Число Коксетера — характеристика скінченної звідної групи Коксетера. У разі, коли група Коксетера є групою Вейля простої алгебри Лі , то говорять про число Коксетера алгебри .
Поняття названо на честь Гарольда Коксетера.
Існує кілька еквівалентних означень цього числа.
- Число Коксетера дорівнює кількості коренів, поділеній на ранг. Еквівалентно, число Коксетера рівно подвоєному числу віддзеркалень в групі Коксетера, діленому на ранг. Якщо група побудована за простою алгеброю Лі, то розмірність цієї алгебри дорівнює n(h + 1), де n — ранг, і h — число Коксетера.
- Елементом Коксетера (інколи елементом Кіллінга — Коксетера) називається добуток всіх простих відображень (не плутати з елементом групи Коксетера найбільшої довжини). Числом Коксетера називається порядок елемента Коксетера.
- Якщо — розкладання старшого кореня за простими коренями, то число Коксетер дорівнює .
- Еквівалентно, якщо — такий елемент, що , то .
- Число Коксетера — це найбільша з ступенів базисних інваріантів групи Коксетера.
Група Коксетера і символ Шлефлі | Граф Коксетера | Діаграма Динкіна | Число Коксетера | Двійне число Коксетера | Ступені базисних інваріантів | |
---|---|---|---|---|---|---|
An | [3,3…,3] | … | … | n + 1 | n + 1 | 2, 3, 4, …, n + 1 |
Bn | [4,3…,3] | … | … | 2n | 2n − 1 | 2, 4, 6, …, 2n |
Cn | … | n + 1 | ||||
Dn | [3,3,..31,1] | … | … | 2n − 2 | 2n − 2 | n; 2, 4, 6, …, 2n − 2 |
E6 | [32,2,1] | 12 | 12 | 2, 5, 6, 8, 9, 12 | ||
E7 | [33,2,1] | 18 | 18 | 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 | ||
E8 | [34,2,1] | 30 | 30 | 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 | ||
F4 | [3,4,3] | 12 | 9 | 2, 6, 8, 12 | ||
G2 | [6] | 6 | 4 | 2, 6 | ||
H3 | [5,3] | - | 10 | 2, 6, 10 | ||
H4 | [5,3,3] | - | 30 | 2, 12, 20, 30 | ||
I2(p) | [p] | - | p | 2, p |
- Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы IV—VI. — М. : Мир, 1972. — С. 331. — (Елементи математики)(рос.)
- J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
- Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960